题目内容
如图，抛物线y=ax2+bx+4的对称轴是直线x=| 3 |
| 2 |
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接AD交y轴于点E，连接AC，设△AEC的面积为S1，△DEC的面积为S2，求S1：S2的值．
（3）点F坐标为（6，0），连接DF，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动；点Q从点F出发，以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？请直接写出所有符合条件的t值．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据对称轴和抛物线经过点A即可求得a、b的值，即可解题；
（2）易求得点D坐标，即可求得CD长度，即可解题；
（3）存在3种情况：①DQ⊥x轴，∠PDQ=90°，②PQ⊥x轴，∠DPQ=90°，③PQ⊥DF，∠DPQ=90°，即可求得t的值，即可解题．
（2）易求得点D坐标，即可求得CD长度，即可解题；
（3）存在3种情况：①DQ⊥x轴，∠PDQ=90°，②PQ⊥x轴，∠DPQ=90°，③PQ⊥DF，∠DPQ=90°，即可求得t的值，即可解题．
解答：解：（1）∵对称轴为
，
∴-
=
，
∵抛物线经过点A，∴a-b+4=0，
∴a=-1，b=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；
（2）∵x=0时，y=4，
∴点C坐标为（0，4），
当y=4时，x=0或3，
∴CD=3，
∴
=
=
；
（3）存在3种情况：
①DQ⊥x轴，∠PDQ=90°，如图1，
∴2t=3，t=
时，△DPQ是直角三角形；
②PQ⊥x轴，∠DPQ=90°，如图2，
∴6-2t=3t-3，∴t=
时，△DPQ是直角三角形；
③PQ⊥DF，∠DPQ=90°，如图3，
∴cos∠F=
，
∴
=
，
解得：t=
，△DPQ是直角三角形；
∴当t=
或
或
时，△DPQ是直角三角形．
| 3 |
| 2 |
∴-
| b |
| 2a |
| 3 |
| 2 |
∵抛物线经过点A，∴a-b+4=0，
∴a=-1，b=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；
（2）∵x=0时，y=4，
∴点C坐标为（0，4），
当y=4时，x=0或3，
∴CD=3，
∴
| S1 |
| S2 |
| AO |
| CD |
| 1 |
| 3 |
（3）存在3种情况：
①DQ⊥x轴，∠PDQ=90°，如图1，
∴2t=3，t=
| 3 |
| 2 |
②PQ⊥x轴，∠DPQ=90°，如图2，
∴6-2t=3t-3，∴t=
| 9 |
| 5 |
③PQ⊥DF，∠DPQ=90°，如图3，
∴cos∠F=
| 3 |
| 5 |
∴
| 11-3t |
| 2t |
| 3 |
| 5 |
解得：t=
| 55 |
| 21 |
∴当t=
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 5 |
| 55 |
| 21 |
点评：本题考查了抛物线解析式的求解，考查了抛物线坐标轴求解，考查了直角三角形的判定和三角函数在直角三角形中运用，本题中正确求得抛物线解析式是解题的关键．
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