Question

16．如图，在半径为6的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB=8，CD=6，垂足为E．则tan∠OEA的值是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{6}$
• D． $\frac{2\sqrt{15}}{9}$

Answer 1

分析 作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，根据垂径定理得出BM=AM=4，DN=CN=$\frac{1}{2}$CD=3，根据勾股定理求出OM和ON，求出ME，解直角三角形求出即可．

解答 解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，

由垂径定理得：BM=AM=$\frac{1}{2}$AB=4，DN=CN=$\frac{1}{2}$CD=3，
由勾股定理得：OM=$\sqrt{O{B}^{2}-B{M}^{2}}$$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，ON=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵弦AB、CD互相垂直，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠MEN=∠OME=∠ONE=90°，
∴四边形MONE是矩形，
∴ME=ON=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠OEA=$\frac{OM}{ME}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{9}$，
故选D．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理和解直角三角形等知识点，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．