Question

1．已知：△ABC中，BC=AC=10，tanB=2，射线CD平分∠ACB，交AB于点D．Rt△EFG中，∠GEF=90°，EF=5，EG=$\frac{5}{2}$，将△ABC与△EFG如图（1）摆放，使点C与点E重合，B、C、E、F共线，现将△EFG沿着射线CD以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度向上平移，设平移时间为t秒．
（1）求点A到BC的距离；
（2）在平移过程中，当△EFG与△ACD有重叠部分时，设重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及对应的自变量t的取值范围；
（3）如图（2），当点E与点D重合时，将△EFG绕点D旋转，记旋转中的△EFG为△EF₁G₁，在旋转过程中G₁F₁所在直线与边AB交于点M，与边AC交于点N，当△AMN为以MN为腰的等腰三角形时，求AM的长度．

Answer 1

分析 （1）作高AH，根据tanB=2设BH=x，则AH=2x，CH=10-x，利用勾股定理列方程求x的值，则AH=8；
（2）分四种情形①当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，如图2中，重叠部分是△EMN．②当$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{7}{2}$时，如图5中，重叠部分是四边形EGMN．③如图6中，当$\frac{7}{2}$＜t≤4时，重叠部分是五边形EKPMN．④如图7中，当4＜t≤6时，重叠部分是△PKF．分别求解即可．
（3）分两种情形①如图8中，当GF∥BC时，易证明△MAN是等腰三角形．②如图9中，当DG∥AC时，易证明△ANM是等腰三角形，MA=MN，△MGD是等腰三角形，MG=MD．分别求出DM的长即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，过A作AH⊥BC，垂足为H，

在Rt△ABH中，tan∠B=$\frac{AH}{BH}$=2，设BH=x，则AH=2x，CH=10-x，
由勾股定理得：AH²+CH²=AC²，
（2x）²+（10-x）²=10²，
解得：x₁=0（舍），x₂=4，
∴AH=2x=8，
答：点A到BC的距离是8；

（2）①如图2中，重叠部分是△EMN．

由（1）得：AH=8，BH=4，
∴CH=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AD=BD=2$\sqrt{5}$，
∵∠ADI=∠IHC=90°，∠AID=∠CIH，
∴∠BAH=∠ICH，
∵∠BAH+∠B=90°，∠ICH+∠HIC=90°，
∴∠B=∠HIC，
∴tan∠HIC=tan∠B=$\frac{CH}{HI}$=2，
∴$\frac{6}{HI}$=2，
∴HI=3，
∴AI=5，由勾股定理得：DI=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，CI=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
由题意得：CE=$\sqrt{5}$t，
∵EG∥AH，
∴$\frac{EM}{AI}=\frac{CE}{CI}$，
∴$\frac{EM}{5}=\frac{\sqrt{5}t}{3\sqrt{5}}$，
∴EM=$\frac{5}{3}$t，tan∠EMN=tan∠HAC=$\frac{EN}{EM}=\frac{CH}{AH}$，
∴$\frac{EN}{\frac{5}{3}t}$=$\frac{6}{8}$，
∴EN=$\frac{5}{4}t$，
∴S=$\frac{1}{2}$EM•EN=$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{3}$t•$\frac{5}{4}t$=$\frac{25}{24}{t}^{2}$，
如图3，当G落在AC上时，

EG=$\frac{5}{3}$t=$\frac{5}{2}$，t=$\frac{3}{2}$；∴当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，S=$\frac{25}{24}{t}^{2}$；
②如图4中，当G在AB上时，

∵EG∥AI，
∴$\frac{EG}{AI}$=$\frac{ED}{DI}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{5}$=$\frac{DE}{\sqrt{5}}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴CE=$\frac{7}{2}$$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$t，
∴t=$\frac{7}{2}$，
∴当$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{7}{2}$时，如图5中，重叠部分是四边形EGMN，

S=S_△EFG-S_△MNF=$\frac{25}{4}$-（$\frac{5}{8}$t²-5t+10）=-$\frac{5}{8}$t²+5t-$\frac{15}{4}$．

③如图6中，当$\frac{7}{2}$＜t≤4时，重叠部分是五边形EKPMN．

S=S_△GEF-S_△PGK-S_△MNF=$\frac{25}{4}$-5（t-$\frac{7}{2}$）²-（$\frac{5}{8}$t²-5t+10）=-$\frac{45}{8}$t²+40t-65．

④如图7中，当4＜t≤6时，重叠部分是△PKF．

S=$\frac{1}{2}$•PK•PF=$\frac{1}{2}$•（$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}t-4\sqrt{5}}{2}$）•2（$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}t-4\sqrt{5}}{2}$）=$\frac{5}{4}$t²-15t+45．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{24}{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{-\frac{5}{8}{t}^{2}+5t-\frac{15}{4}}&{（\frac{3}{2}＜t≤\frac{7}{2}）}\\{-\frac{45}{8}{t}^{2}+40t-65}&{（\frac{7}{2}＜t≤4）}\\{\frac{5}{4}{t}^{2}-15t+45}&{（4＜t≤6）}\end{array}\right.$．

（3）①如图8中，当GF∥BC时，易证明△MAN是等腰三角形，

∵MN=AN，
∴∠A=∠NMA=∠G，
∴DG=DM=$\frac{5}{2}$，
∴AM=AD-DM=2$\sqrt{5}$-$\frac{5}{2}$．

②如图9中，当DG∥AC时，易证明△ANM是等腰三角形，MA=MN，△MGD是等腰三角形，MG=MD，

作MK⊥GD于K．
∵MG=MD，MK⊥GD，
∴KD=KG=$\frac{5}{4}$，MK=2KD=$\frac{5}{2}$，
ME=$\frac{5}{4}$$\sqrt{5}$，
∴AM=AD-MD=2$\sqrt{5}$-$\frac{5}{4}$$\sqrt{5}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查平移变换、旋转变换、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，解题的关键是学会正确画出图形，确定自变量x的取值范围，学会利用分段函数表示函数关系式，学会分类讨论的思想思考问题，题目比较复杂，计算量比较大，属于中考压轴题．