Question

1．在△ABM中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB=3$\sqrt{2}$，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．

Answer 1

分析 （1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2，再由勾股定理可得AC的长；
（2）延长EF到点G，使得FG=EF，证△BMD≌△AMC得AC=BD，再证△BFG≌△CFE可得BG=CE，∠G=∠E，从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E．

解答 解：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，
∴AM=BM=ABcos45°=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3，
则CM=BC-BM=5-3=2，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；

（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．

由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC=BD，
又CE=AC，
因此BD=CE，
由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG=CE，∠G=∠E，
所以BD=CE=BG，
因此∠BDG=∠G=∠E．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质及勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．