Question

如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE平分∠ABC，交AC于点E，交CD于点F，且∠OBF=15°，求证：OF=EF．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：证明题

分析：根据矩形的得出OB=OC，∠ABC=∠BCD=90°，求出∠EBC=45°，求出∠OBC=60°，得出等边三角形OBC，推出°，BC=OC，求出∠OEF，求出CF=OC，求出∠FOE，推出∠FOE=∠OEF，即可得出答案．

解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AC=BD，AO=OC，BO=OD，
∴OB=OC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=45°，
∵∠OBF=15°，
∴∠OBC=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，BC=OC，
∴∠OEF=∠BEC=180°-∠OCB-∠EBC=180°-45°-60°=75°，
∵∠BCF=90°，∠FBC=45°，
∴∠FBC=45°=∠BFC，
∴BC=CF=OC，
∵∠BCD=90°，∠OCB=60°，
∴∠OCF=90°-60°=30°，
∴∠COF=∠CFO=

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（180°-30°）=75°，
∴∠COF=∠OEF=75°，
∴OF=EF．

点评：本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∠FOE=∠OEF，题目综合性比较强，有一定的难度．