Question

2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点；
（1）求证：MN与PQ互相垂直平分；．
（2）连结MP、MQ、NP、NQ，若PQ=6，MN=10，求四边形MPNQ的面积和AB的长．

Answer 1

分析 （1）要证明MN与PQ互相垂直平分，只需构造一个菱形，运用菱形的性质：菱形形的对角线互相垂直平分即可证明．
（2）根据（1）中的结论和菱形的面积公式来求四边形MPNQ的面积，由菱形的性质和勾股定理来求PM的长度，然后结合三角形中位线定理来求AB的长度即可．

解答 （1）证明：如图，顺次连接MP、PN、NQ、QM．
∵点M、P分别是线段AD、BD的中点，
∴MP是△ABD的中位线，
∴MP∥AB且MP=$\frac{1}{2}$AB．
同理，NQ∥AB且NQ=$\frac{1}{2}$AB．
∴MP∥NQ且MP=NQ，
∴四边形MPNQ是平行四边形．
又点P、N分别是线段BD、BC的中点，
∴PN是△BCD的中位线，
∴PN=$\frac{1}{2}$CD．
又∵AB=CD，
∴PN=PM，
∴平行四边形MPNQ是菱形，
∴MN与PQ互相垂直平分；

（2）如图，设MN与PQ交于点O．
由（1）知，平行四边形MPNQ是菱形．
∵PQ=6，MN=10，
∴四边形MPNQ的面积=$\frac{1}{2}$PQ•MN=$\frac{1}{2}$×6×10=30．
又∵由（1）知，MN与PQ互相垂直平分，
∴OP=3，OM=5，且OP⊥OM，
∴由勾股定理得到：MP=$\sqrt{O{P}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
∴AB=2MP=2$\sqrt{34}$．

点评 本题考查了中点四边形．解题时利用了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．