Question

6．如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，过B点作BC∥OD交⊙O于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E．若AB=2，AD=$\sqrt{3}$，则图中阴影部分的面积为$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 先根据切线的性质得∠OAD=90°，再在Rt△AOD中，利用正切的定义可求出∠AOD=60°，则利用平行线的性质得∠ABC=∠AOD=60°，于是可判断△OBC为等边三角形，所以∠BOC=60°，然后根据扇形面积公式和等边三角形面积公式，利用阴影部分的面积=S_扇形BOC-S_△BOC进行计算即可．

解答 解：∵AD与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD=90°，
在Rt△AOD中，∵tan∠AOD=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOD=60°，
∵BC∥OD，
∴∠ABC=∠AOD=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴阴影部分的面积=S_扇形BOC-S_△BOC
=$\frac{60•π•{1}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×1²
=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算．