Question

11．如图，⊙O为△ABD的外接圆，E为△ABD的内心，DE的延长线交⊙O于C．
（1）如图1，求证：CE=AC；
（2）如图2，AB为⊙O的直径，AB=10，AD=8．
①求S_△ADE；
②求$\frac{AE}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接AE，如图1，利用三角形内心的性质得∠3=∠BDC，∠2=∠4，再根据圆周角定理得∠5=∠∠BDC，则∠5=∠3，然后利用三角形外角性质可证明∠1=∠2+∠5，于是得到CE=CA；
（2）①连接AC，BC，作EH⊥AD于H，如图2，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，利用勾股定理计算出BD=6，再利用内心性质得EH为Rt△ADB的内切圆的半径，∠ADC=∠BDC=45°，则可计算出EH=2，于是利用三角形面积公式可计算出S_△ADE；
②先利用圆周角定理证明△ABC为等腰直角三角形，则AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，由（1）得CE=CA=5$\sqrt{2}$，易得△DHE为等腰直角三角形，则DH=EH=2，则可计算出AE，然后计算$\frac{AE}{CE}$．

解答 （1）证明：连接AE，如图1，
∵E为△ABD的内心，
∴∠3=∠BDC，∠2=∠4，
∵∠5=∠∠BDC，
∴∠5=∠3，
∵∠1=∠3+∠4，
∴∠1=∠2+∠5，即∠1=∠CAE，
∴CE=CA；
（2）解：①连接AC，BC，作EH⊥AD于H，如图2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵E为△ABD的内心，
∴EH为Rt△ADB的内切圆的半径，∠ADC=∠BDC=45°，
∴EH=$\frac{6+8-10}{2}$=2，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$×8×2=8；
②∵∠BAC=∠BDC=45°，∠ABC=∠ADC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，
由（1）得CE=CA=5$\sqrt{2}$，
易得△DHE为等腰直角三角形，
∴DH=EH=2，
∴AH=AD-DH=8-2=6，
在Rt△AHE中，AE=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、三角形内心的性质和等腰直角三角形的性质；记住直角三角形内切圆的半径与三边的关系．