Question

11．已知直线MN∥PQ，点A在MN上，点B在PQ上．
（1）如图1，点C在MN上方，连AC，BC，求证：∠CBP-∠CAM=∠C，
（2）如图2，点C在MN与PQ之间，连接AC，BC，延长AC交PQ于点D，点S在直线PQ上．
①当点S在点D的左边时，则∠SAC，∠PBC，∠ACB，∠ASQ之间有何数量关系？请说明理由．
②当点S在点D的右边时，直接写出∠SAC，∠PBC，∠ACB，∠ASQ之间的数量关系为∠ACB+∠SAC=∠PBC+∠ASQ．

Answer 1

分析 （1）作CE∥PQ，根据平行线的性质以及角的和差关系进行推导即可；
（2）①根据三角形外角性质，即可得到∠ADB=∠SAC+∠ASQ，∠ACB=∠ADB+∠PBC，进而得出∠ACB=∠SAC+∠ASQ+∠PBC；
②根据三角形内角和定理，即可得到∠ACB+∠SAC=180°-∠AEC，∠PBC+∠ASQ=180°-∠BES，再根据对顶角相等，即可得到∠ACB+∠SAC=∠PBC+∠ASQ．

解答 解：（1）如图1，作CE∥PQ，
∵CE∥PQ，MN∥PQ，
∴CE∥MN，
∴∠CAM=∠ACE，∠CBP=∠BCE，
∴∠CBP-∠CAM=∠BCE-∠ACE=∠C；

（2）①当点S在点D的左边时，∠SAC+∠ASQ+∠PBC=∠ACB．
证明：如图2，∵∠ADB是△ADS的外角，
∴∠ADB=∠SAC+∠ASQ，
∵∠ACB是△BCD的外角，
∴∠ACB=∠ADB+∠PBC，
∴∠ACB=∠SAC+∠ASQ+∠PBC；

②如右图，当点S在点D的右边时，
∵∠ACB+∠SAC=180°-∠AEC，∠PBC+∠ASQ=180°-∠BES，
又∵∠AEC=∠BES，
∴∠ACB+∠SAC=∠PBC+∠ASQ，
即∠SAC，∠PBC，∠ACB，∠ASQ之间的数量关系为∠ACB+∠SAC=∠PBC+∠ASQ．
故答案为：∠ACB+∠SAC=∠PBC+∠ASQ．

点评 本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．