Question

11．如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA=OB₁，连结AB₁，在B₁A、B₁B上分别取点A₁、B₂，使B₁B₂=B₁A₁，连结A₁B₁…按此规律上去，记∠A₁B₁B₂=θ₁，∠A₂B₂B₃=θ₂，…，∠A_nB_nB_n+1=θ_n，则：
（1）θ₁=$\frac{180°+α}{2}$；  
（2）θ_n=$\frac{（{2}^{n}-1）•180°+α}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠AB₁O，再根据邻补角的定义表示出θ₁，同理表示出θ₂，θ₃，…，θ_n．

解答 解：∵OA=OB₁，
∴∠AB₁O=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴θ₁=180°-$\frac{1}{2}$（180°-α）=$\frac{180°+α}{2}$，
∵A₁B₁=B₁B₂，
∴∠A₁B₂B₁=$\frac{1}{2}$（180°-$\frac{180°+α}{2}$）=$\frac{180°-α}{4}$，
∴θ₂=180°-∠A₁B₂B₁=180°-$\frac{180°-α}{4}$=$\frac{3×180°+α}{4}$，
同理可得：θ₃=$\frac{7×180°+α}{8}$，
…，
∴θn=$\frac{（{2}^{n}-1）•180°+α}{{2}^{n}}$．

点评 此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是总结归纳出规律．