Question

15．将抛物线y=x²+4x-1的图象绕原点旋转180°后，并将顶点向上平移，恰好与直线y=kx+1交于点A（1，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求新抛物线与直线的另一交点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）先将原抛物线的解析式化为顶点式：y=（x+2）²-5，根据图象绕原点旋转180°后，a相反，开口大小不变，顶点坐标关于原点对称，因此设新抛物线的解析式为：y=-（x-2）²+b，将交点A的坐标代入即可求得解析式；
（2）根据交点A的坐标求出直线的解析式，与二次函数的解析式列方程组可求得另一交点B的坐标．

解答 解：（1）y=x²+4x-1=（x+2）²-5，
设新抛物线的解析式为：y=-（x-2）²+b，
把A（1，2）代入得：2=-（1-2）²+b，
b=3，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）²+3；
（2）把A（1，2）代入直线y=kx+1得：2=k+1，k=1，
∴直线的解析式为：y=x+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-2）^{2}+3}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
-（x-2）²+3=x+1，
x²-3x+2=0，
（x-2）（x-1）=0，
x=2或1，
当x=2时，y=2+1=3，
∴另一交点B的坐标为（2，3）．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的交点及几何变换问题，明确图象绕原点旋转180°后：①开口大小不变，方向相反，即a相反；②顶点坐标是关于原点对称；知道两函数的交点坐标即是两解析式所列方程组的解．