题目内容
（2010•乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：
（1）S1= ；
（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn= ．
【答案】分析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
解答：解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为
，另一条直角边就是
=
，
∴三角形的面积为
÷2=
，
∴S1=1+
；
（2）∵第二个正方形的边长为
，它的面积就是
，也就是第一个正方形面积的
，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的
，
∴S2=（1+
）•
，依此类推，S3=（1+
）•
•
，即S3=（1+
）•
，
Sn=（
）•
（n为整数）．
点评：本题重点考查了勾股定理的运用．
解答：解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为
，另一条直角边就是=，∴三角形的面积为
÷2=，∴S1=1+
；（2）∵第二个正方形的边长为
，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的
，∴S2=（1+
）•，依此类推，S3=（1+）••，即S3=（1+）•，Sn=（
）•（n为整数）．点评：本题重点考查了勾股定理的运用．
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