Question

20．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（-y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A₁的伴随点为A₂，点A₂的伴随点为A₃，点A₃的伴随点为A₄，…，这样依次得到点A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．若点A₁的坐标为（4，5），点A₂₀₁₅的坐标为（-4，-3），若点A₁的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点A_n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为-1＜a＜1且0＜b＜2．

Answer 1

分析 根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2015除以4，根据商和余数的情况确定点A₂₀₁₅的坐标即可；再写出点A₁（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．

解答 解：∵A₁的坐标为（4，5），
∴A₂（-4，5），A₃（-4，-3），A₄（4，-3），A₅（4，5），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2015÷4=503余3，
∴点A₂₀₁₅的坐标与A₃的坐标相同，为（-4，-3）；
∵点A₁的坐标为（a，b），
∴A₂（-b+1，a+1），A₃（-a，-b+2），A₄（b-1，-a+1），A₅（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点A_n均在x轴上方，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{-a+1＞0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-b+2＞0}\\{b＞0}\end{array}\right.$，
解得-1＜a＜1，0＜b＜2．
故答案为：（-4，-3）；-1＜a＜1且0＜b＜2．

点评 本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．