Question

如图，?ABCD中，E为AD边上一点，AE=AB，AF⊥AB，交线段BE于点F，G为AE上一点，AG：GE=1：5，连结GF并延长交边BC于点H．若GE：BH=1：2，则tan∠GHB=

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：根据相似三角形对应高的比等于相似比，求得∠NAF=30°，进而求得∠DAB=120°，从而求得∠FBM=30°，根据正切定理求得FM，设GA=a，根据三角形相似求得BH=2EG=10a，根据三角形全等求得MB=AB=6a，从而求得HM=4a，在RT△FHM中根据正切定理即可求得，

解答：
解；过F点作MN⊥BC，则MN⊥AD，设AG=a，
∵AG：GE=1：5，GE：BH=1：2，
∴EG=5a，BH=10a，AE=6a，
∵AE=AB，
∴AB=6a，∠AEB=∠ABE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴BE是∠ABE的平分线，
∵FA⊥AB，FM⊥BC，
∴FM=FA，
在RT△ABF与RT△MBF中

FA=FM FB=FB

∴RT△ABF≌RT△MBF（HL），
∴BM=AB=6a，
∵∠AEB=∠EBC，∠EFG=∠BFH，
∴△EFG∽△BFH，
∴

FN

FM

=

EG

BH

=

1

2

，
∵FA=FM，
∴FN：FA=1：2，
在RT△AFN中，∠EAF=30°，
∵∠FAB=90°，
∴∠DAB=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠MBF=30°，
在RT△MBF中，FM=tan30°•BM=

3

3

×6a=2

3

a，
∵BH=10a，BM=6a，
∴HM=BH-BM=4a，
∴tan∠GHB=

FM

HM

=

2 3 a

4a

=

3

2

．

点评：本题考查了三角形求得的判定及性质，三角形相似的判定及性质，角的平分线的性质，在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角等于30°，作出辅助线是本题的关键．