Question

5．如图，已知正方形ABCD，AB=4，动点M、N分别从D、B两点同时出发，且都以1个单位/秒的速度匀速运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥AD，交AC于点P，连结NP．设运动时间为x秒．
（1）PM的长为4-x（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC的面积S与时间x的函数表达式并写出定义域；
（3）当△NPC为一个等腰三角形时，求出所有满足条件的x值．

Answer 1

分析 （1）由题意知MD=x，则AM=4-x，根据正方形的性质得到CD⊥AD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AM}{AD}=\frac{PM}{CD}$，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，延长MP交BC于Q点，根据正方形的性质得到∠D=∠BCD=90°，AB=BC=CD=4，推出四边形MQCD是矩形，根据矩形的性质得到∠PQC=90°，MQ=CD，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）当CN=PN时 如图2，由正方形的性质得到∠NCP=45°，得到∠PNC=90°，求得x=2，当CN=CP时，如图3，CN=4-x，CQ=MD=x根据等腰直角三角形得到CP=$\sqrt{2}$CQ=$\sqrt{2}x$，于是得到x=4$\sqrt{2}$-4，当PN=CP时，如图4，求得∠NPC=90°，根据直角三角形的性质得到$x=\frac{4}{3}$．

解答 解：（1）由题意知：MD=x，则AM=4-x，
∵四边形ABCD正方形，
∴CD⊥AD，
∵MP⊥AD，
∴MP∥CD，
∴△AMP∽△ADC，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{PM}{CD}$，
∴$\frac{4-x}{4}=\frac{PM}{4}$，
∴PM=4-x，
故答案为：4-x；

（2）如图1，延长MP交BC于Q点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCD=90°，AB=BC=CD=4，
∵MP⊥AD，
∴∠PMD=90°，
∴四边形MQCD是矩形，
∴∠PQC=90°，MQ=CD，
∴PQ⊥NC，
∵CD=4，
∴MQ=4，
由（1）知MP=4-x，
∴PQ=x，
据题意得 BN=x，
∴CN=4-x，
∴S=$\frac{1}{2}$NC•PQ=$\frac{1}{2}$x（4-x）=2x-$\frac{1}{2}$x²（0＜x＜4）；

（3）当CN=PN时 如图2，
∴∠NPC=∠NCP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠NCP=45°，
∴∠PNC=90°，
CN=4-x，PN=x，
∴x=2，
当CN=CP时，如图3，CN=4-x，CQ=MD=x
等腰直角三角形 PQC中，CP=$\sqrt{2}$CQ=$\sqrt{2}x$，
∴x=4$\sqrt{2}$-4，
当PN=CP时，如图4，
∴∠PNC=∠PCN=45°，
∴∠NPC=90°，
∵PQ⊥NC∴Q是NC的中点，
∴NC=2PQ，
∴$x=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．