Question

已知：点A，B在函数y=-

1

x

图象上，AB=2AO，AP∥x轴，BP∥y轴，AP，BP交于点P，BP交x轴与点F，AE⊥x轴于点E，交OP与点Q，连接QB，设OE=a，OF=b
（1）求点P的坐标（用a，b的代数式表示）；
（2）求证：四边形APBQ是矩形；
（3）求证：∠AOP=2∠POF．

Answer 1

分析：（1）点P的横坐标，可以直接得出，将点A的横坐标代入反比例函数解析式，可得出点A的纵坐标，也即点P的纵坐标；
（2）先求出PB，根据△OEQ∽△PAQ，求出AQ，判断出BP=QA，这样可判断出四边形APBQ为平行四边形，结合AP⊥BP可得出结论；
（3）根据矩形的性质可得∠ACO=2∠POF，然后判断出AO=AC，根据∠AOP=∠ACO，可得出结论．

解答：解：（1）由题意得，P_横=b，A_横=a，
∵AP∥x轴，BP∥y轴，AE⊥x轴，
∴四边形APFE为矩形，
∴A_纵=P_纵，
将A_横=a代入y=-

1

x

，可得A_纵=-

1

a

，
故可得点P的坐标为（b，-

1

a

）；
（2）由题意可得，点B的坐标为（b，-

1

b

），
则BF=

1

b

，
∵△OEQ∽△PAQ，
∴

EQ

QA

=

OE

PA

=

a

b-a

，
又∵EQ+QA=AE=

1

a

，
∴解得：EQ=

1

b

，
∴AQ=BP，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∵∠APE=90°，
∴四边形APBQ是矩形．
（3）

∵AP∥x轴，
∴∠POF=∠CPA，
∵CA=CP，
∴∠CAP=∠CPA，
∴∠AC0=2∠CPA，
又∵AB=2AO，
∴AO=AC，
∴∠AOP=∠ACO=2∠CPA=2∠POF．

点评：本题属于反比例函数综合题，涉及了矩形的判定、点的坐标与线段长度的转化、三角形的外角，综合性较强，解答本题的关键之处在于判断四边形APBQ为矩形，需要我们结合坐标确定AQ=PB，难度较大．