Question

10．如图，四边形OABC为平行四边形，B、C在⊙O上，A在⊙O外，sin∠OCB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若BC=10cm，求⊙O的半径长及图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由特殊三角函数值sin∠OCB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得∠OCB=45°，根据同圆的半径相等得：OB=OC，利用等边对等角得：∠OCB=∠OBC=45°，所以∠BOC=90°，最后由平行四边形的对边平行和平行线性质得：
∠BOC=∠ABO=90°，AB与⊙O相切；
（2）根据勾股定理求⊙O的半径长，再利用差求阴影部分的面积．

解答 （1）证明：连接OB，
∵sin∠OCB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OCB=45°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BOC=90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠BOC=∠ABO=90°，
∵B在⊙O上，
∴AB与⊙O相切；
解：（2）设⊙O的半径为r，则OB=OC=r，
在Rt△OBC中，r²+r²=10²，
∴r=5$\sqrt{2}$，
∴S_阴影部分=S_扇形OBC-S_△OBC=$\frac{90π×（5\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$（5\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{25}{2}$π-25，
答：⊙O的半径长5$\sqrt{2}$，阴影部分的面积为$\frac{25}{2}π-25$．

点评 本题考查了切线的判定、平行四边形的性质、三角函数值、扇形的面积；明确两种证明切线的方法：①无交点，作垂线段，证半径；②有交点，作半径，证垂线；熟记扇形的面积公式，并掌握特殊的三角函数值．