Question

6．如图．⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，CD．求证：BD=CD=DI．

Answer 1

分析 根据三角形的内心的性质、角平分线的性质、三角形的外角的性质以及同弧所对的圆周角相等进行证明即可．

解答 解：∵AD平分∠BAC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴BD=CD，
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，又∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠BAI+∠ABI，
∴∠DBI=∠DIB，
∴DB=DI，又BD=CD，
∴BD=CD=DI．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心以及三角形的内心的性质，掌握三角形的内心是三条角平分线的交点、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．