Question

已知，△AOB中，∠A=30°，以O为圆心，OB为半径的⊙O交AB边于点C，E为⊙O上一点，ED垂直平分AO．
（1）求证：BC=2DE；
（2）连接DC，若DC⊥AB，DE=4，求DC长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形,锐角三角函数的定义

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明OH=OD；证明△OBH≌△OED，得到BH=DE，即可解决问题．
（2）证明CH=DE=4；证明AC=CH=4；运用直角三角形的边角关系，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，过点O作OH⊥AB，连接OE；
则BH=CH；而∠A=30°，
∴AO=2OH；而AO=2OD，
∴OH=OD；
在△OBH与△OED中，

OB=OE OH=OD

，
∴△OBH≌△OED（HL），
∴BH=DE；
∵BC=2BH，
∴BC=2DE．
（2）由（1）知：CH=DE=4；
∵DC⊥AB，OH⊥AB，
∴DC∥OH；而AD=OD，
∴AC=CH=4；
∵tan∠A=

CD

AD

，
∴CD=

4 3

3

．

点评：该题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定及其应用、平行线分线断成比例定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用垂径定理、全等三角形的判定及其应用、平行线分线断成比例定理等几何知识来分析、解答．