Question

14．如图1，点D为射线BC上一动点且四边形ADEF是正方形，请阅读下列内容，并解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为CF⊥BD，数量关系为CF=BD．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在在线段BC上运动，试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

Answer 1

分析 （1）①结论：CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等； 只要证明△BAD≌△CAF，即可解决问题．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似；
（2）结论：当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图1）．过点A作AG⊥AC交BC于点G，理由（1）中的结论即可解决问题．

解答 解：（1）①结论：CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等； 理由如下：
如图乙中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAD=∠CAF}\\{DA=FA}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∴CF⊥BD，CF=BD，
故答案为CF⊥BD，CF=BD；

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
理由：如图丙中，

由正方形ADEF得  AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即 CF⊥BD；

（2）结论：当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图1）．

理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG
由（1）可知：△GAD≌△CAF   
∴∠ACF=∠AGD=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD；

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．