Question

12．已知在△ABC中，AB=BC，D是BC的中点，CF∥AB，试说明BP²=PE•PF．

Answer 1

分析 首先利用三线合一定理证明∠BAD=∠CAD，然后证明△ABP≌△ACP，得到BP=PC，∠ABP=∠ACP，再证明△PCE∽△PFC，利用相似三角形的性质证得．

解答 解：连接PC，
∵AB=AC，BD=DC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABP和△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACP（SAS），
∴BP=PC，∠ABP=∠ACP，
∵CF∥AB，
∴∠F=∠ABP，
∴∠F=∠ACP，
又∵∠EPC=∠CPF，
∴△PCE∽△PFC，
∴$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，即PC²=PF•PE，
又∵BP=PC，
∴BP²=PF•PE．

点评 本题考查了等腰三角形三线合一定理以及相似三角形的相似的判定与性质，证明线段成比例的问题，常用方法是证明三角形相似．