题目内容
4．
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4，点D是AB的中点，动点P、Q同时从点D出发（点P、Q不与点D重合），点P沿D→A以1cm/s的速度向中点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动．回到点D停止．以PQ为边在AB上方作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）当点N在边AC上时，求t的值．
（2）用含t的代数式表示PQ的长．
（3）当点Q沿D→B运动，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是五边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）直接写出正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时t的取值范围．
分析 （1）由已知得出AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2，由正方形的性质得出PN=MN=MQ=PQ=3t，∠APN=∠QPN=∠PQM=∠NMQ=∠MNP=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，求出∠ANP=∠A=45°，得出AP=PN，即可得出答案；
（2）分两种情况：①当0＜t≤1时，PQ=3t；②当1＜t＜2时，BQ=2t-2，求出DQ=4-2t，得出PQ=PD+DQ=4-t；
（3）分两种情况：①当$\frac{2}{5}$＜t≤$\frac{1}{2}$时，QF=BQ=2-2t，ME=MF=5t-2，由正方形分面积减去等腰直角三角形的面积，即可得出答案；
②当$\frac{2}{3}$≤t＜1时，PG=AP=2-t，HQ=BQ=2-2t，由勾股定理得出AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，由大等腰直角三角形的面积减去两个小等腰直角三角形的面积，即可得出答案；
（4）分两种情况：①0＜t≤$\frac{1}{2}$；②AP=BQ，BQ=2t-2，AP=2-t，解方程求出t=$\frac{4}{3}$即可．
解答 
解：（1）如图①所示：
∵AB=4，点D是AB的中点，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PN=MN=MQ=PQ=3t，∠APN=∠QPN=∠PQM=∠NMQ=∠MNP=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠ANP=∠A=45°，
∴AP=PN，
∴2-t=3t，
∴t=$\frac{1}{2}$；
（2）分两种情况：
①当0＜t≤1时，PQ=3t；
②当1＜t＜2时，BQ=2t-2，
∴DQ=2-（2t-2）=4-2t，
∴PQ=PD+DQ=4-t；
（3）分两种情况：
①当$\frac{2}{5}$＜t≤$\frac{1}{2}$时，如图②所示：
QF=BQ=2-2t，ME=MF=3t-（2-2t）=5t-2，
∴S=（3t）2-$\frac{1}{2}$（5t-2）2=-$\frac{7}{2}$t2+10t-2；
②当$\frac{2}{3}$≤t＜1时，如图③所示：
PG=AP=2-t，HQ=BQ=2-2t，
∵AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$）2-$\frac{1}{2}$×（2-t）2-$\frac{1}{2}$×（2-2t）2=-$\frac{5}{2}$t2+6t；
（4）分两种情况：
①如图④所示：此时0＜t≤$\frac{1}{2}$；
②如图⑤所示：
此时AP=BQ，BQ=2t-2，AP=2-t，
∴2-t=2t-2，
解得：t=$\frac{4}{3}$；
综上所述：正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时t的取值范围为0＜t≤$\frac{1}{2}$或t=$\frac{4}{3}$．
点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，注意分类讨论思想的运用．
科学实验活动册系列答案
求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（ ）
| A． | ③→②→①→④ | B． | ③→④→①→② | C． | ①→②→④→③ | D． | ①→④→③→② |
“和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度y（单位：m/s）与时间x（单位：s）的关系如图所示，其中线段BC∥x轴．
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．