Question

（本小题满分12分）
如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合）PQ⊥AB，垂足为Q．设PC=x，PQ= y．

【小题1】⑴求y与x的函数关系式；
【小题2】⑵试确定此RtΔABC内切圆I的半径，并探求x为何值时，直线PQ与这个内切圆I相切？
【小题3】⑶若0<x<1，试判断以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能否相内切，若能求出相应的x的值，若不能，请说明理由．

Answer 1

【小题1】⑴如图1，PQ=y
 ∵∠A=∠A，∠ACB=∠AQP=90°
 ∴RtΔAQP∽ΔRtΔACB，
∴PQ∶BC=AP∶AB
依题意可得：BC=3，AP=4－x
∴   
化简得：
【小题2】⑵假设直线PQ与这个内切圆I能相切，令切点为M，如图，
可知四边形IMQN也是正方形，
则有PM=PE，MQ=IN=1,
∴ PC=PQ，
即 x=y，
又  
解之，得x=.
【小题3】⑶当⊙P与⊙I内切时，如图3，
根据勾股定理得：
即  
将代入得

解之得.

解析