Question

5．如图，点P是正方形ABCD（在小学，同学们学习过：正方形四边相等，四个角都是直角）对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连结PD，O为AC中点．
（1）如图①，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要证PE⊥PD，分类讨论：①当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，容易得出结论；②当点E在BC的延长线上时；根据角的关系即可得出结论．

解答 解：（1）当点P在线段AO上时；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°，
在△ABP和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAP=∠DAP}&{\;}\\{AP=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP，
∵PB=PE，
∴PE=PD，
过点P作PM⊥CD于点M，作PN⊥BC于点N，
∵PB=PE，PN⊥BE，
∴BN=NE，
∵BN=DM，
∴DM=NE，
在Rt△PNE与Rt△PMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PE}\\{NE=DM}\end{array}\right.$，
∴Rt△PNE≌Rt△PMD（HL），
∴∠DPM=∠EPN，
∵∠MPN=90°，
∴∠DPE=90°，
∴PE⊥PD，
故PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PE⊥PD；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
①当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
②当点E在BC的延长线上时，如图所示．
∵△ADP≌△ABP，
∴∠ABP=∠ADP，
∴∠CDP=∠CBP，
∵BP=PE，
∴∠CBP=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
综上所述：PE⊥PD．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及垂线的证明方法；证明三角形全等是解决问题的关键；此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用的思想方法．