Question

如图，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若∠A＝30^o，AB＝8，F是OB的中点，联结DF并延长交⊙O于G，求弦DG的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：联结OD． 　　∵OA＝OD，　∴∠A＝∠1． 　　∵BA＝BC，　∴∠A＝∠C． 　　∴∠1＝∠C． 　　∵DE⊥BC，垂足为E， 　　∴∠2＋∠C＝90o． 　　∴∠1＋∠2＝90o． 　　∴∠ODE＝90o． 　　∵点D在⊙O上， 　　∴DE是⊙O的切线．　　3分 　　(2)解：联结BD． 　　∵AB是⊙O的直径， 　　∴∠ADB＝90o． 　　∵∠A＝30o，AB＝8， 　　∴DB＝4，∠ABD＝60o．　　4分 　　∵OD＝OB， 　　∴△ODB是等边三角形． 　　∵F是OB的中点， 　　∴DG⊥AB． 　　∴FD＝FG．　　5分 　　在Rt△BDF中，∠ABD＝60o． 　　∴DF＝BD·sin60o＝． 　　∴DG＝．　　6分