Question

已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点G在BC上，连接AG，过C作CF⊥AG，垂足为点E，过点B作BF⊥CF于点F，点D是AB的中点，连接DE、DF．
（1）若∠CAG=30°，EG=1，求BG的长；
（2）求证：∠AED=∠DFE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,解直角三角形

专题：

分析：（1）首先根据勾股定理求出CE的长，进而得到AC的长，因为AC=BC，所以BC可求，利用BH=BC-CG计算即可；
（2）连接CD，通过证明分别证明△ACE≌△CBF和△DCE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可证明∠AED=∠DFE．

解答：（1）解：∵∠CAG=∠FCB=30°，EG=1，sin30°=

EG

CG

=

1

2

∴CG=2，
∴CE=

22-12

=

3

 
∵sin30°=

CE

AC

，
∴AC=2

3

，
∴BC=2

3

    
∴BG=2

3

-2；

（2）证明：连接CD，
在△ACE和△CBF中，

∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠FCB AC=BC

，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CE=BF，
∵等腰RT△ABC中，点D是AB的中点，
∴CD=BD，
∵CD⊥BD，
∠DCE+∠DPC=∠FBP+∠FPB=90°，
∴∠DCE=∠DBF，
在△DCE和△DBF中，

CE=BF ∠DCE=∠DBF DC=BD

∴△DCE≌△DBF（SAS），
∴∠CED=∠BFD，
∵∠AEC=∠CFB=90°，
∴∠AED=∠DFE．

点评：本题考查了勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，题目的综合性强，难度不小，对学生的解题能力较强很高．