Question

如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：设P（x，0），Q（a，a），再分AB是平形四边形的边与对角戏两种情况进行讨论即可．

解答：解：如1，∵P是x轴上一动点，点Q在直线y=x上，
∴设P（x，0），Q（a，a），
当AB是平形四边形的边时，
∵AB=3-1=2，
∴PQ=AB=2，
∴a=±2，
∴P₁（-2，0），Q₁（-2，-2）或P₂（2，0），Q₂（2，2）；
如图2，当AB是平形四边形的对角线时，
BQ=AP是a²+（a-3）²=x²+1²，即2a²-6a=x²-8①；
PB=AQ是a²+（a-1）²=3²+x²，即2a²-2a=x²-9②．
①-②得a=4，把a=4代入①得，17=1+x²，
解得x=±4，
∴P₃（-4，0），Q₃（4，4）或P₄（4，0），Q₄（4，4）（舍去）．

点评：本题考查了一次函数的性质，与四边形结合，使得题目难度较大，数形结合与分类讨论思想的应用，使得题目妙趣横生．