Question

如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．

（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数．
（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．
①当t=4时，求PH的长．
②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，就是A，B两点在CD上的勾股点；
（2）以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点；
（3）①当t=4时，先求出PM，QN的值，再分三种情况：当∠MHN=90°时，当∠H″NM=90°时，当∠H′MN=90°时，分别求出PH的长．
（4）首先确定t的范围，在不同的范围内结合图形找出MN的勾股点，特别要结合圆找勾股点．

解答：解：（1）如图1，以线段AB为直径的圆与线段CD的交点P，点P就是A，B两点的勾股点；

（2）如图2，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，
∴以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点4个；

（3）①如图3，当t=4时，PM=8-4=4，QN=5-4=1，

Ⅰ、当∠MHN=90°时，
∵∠MPH=∠HQN=90°，
∴△PMH∽△QHN，
∴PH：QN=PM：HQ，
而PH+HQ=BC=4，
∴PH=2；
Ⅱ、当∠H″NM=90°时，设PH=x，那么H″Q=4-x
依题意得PM²+PH″²=QN²+H″Q²+MN²，
而MN=

42+32

=5，
∴PH=

13

4

，
Ⅲ、当∠H′MN=90°时，QH′²+QN²-（H'P²+PM²）=MN²，
而H′Q=PH′+PQ=PH′+4，
∴PH=3．
∴PH=

13

4

或PH=2或PH=3．
（3）②如图4，当0≤t＜4时，∠H₁MN=90°，∠H₂NM=90°，有2个勾股点；

如图5，当t=4时，当∠MHN=90°时，当∠H″NM=90°时，当∠H'MN=90°时，有3个勾股点H，H′，H″；

如图6，当4＜t＜5时，有4个勾股点；

如图7，当t=5时，当∠MHN=90°时，当∠H′MN=90°时，有2个勾股点H，H′；
  
如图8，当5＜t＜8时，有4个勾股点；

如图9，当t=8时，有2个勾股点．
                                    
综上所述：
当0≤t＜4时，有2个勾股点；
当t=4时，有3个勾股点；
当4＜t＜5时，有4个勾股点；
当t=5时，有2个勾股点；
当5＜t＜8时，有4个勾股点；
当t=8时，有2个勾股点．

点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题关键是正确理解题目所给材料，结合圆直径对的角为直角，确定勾股点的个数．