Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,等腰三角形的判定与性质

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；
（3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，则DF=

1

2

OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标．

解答：解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
则

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得：

a=-1 b=3 c=4

，
则抛物线的解析式是：y=-x²+3x+4；

（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁．过点P₁作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
设P（m，-m²+3m+4），
则m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴-m²+3m+4=6，
即P（2，6）．
第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP₂，AC交抛物线于点P₂，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P₂N∥x轴，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF．
∴P₂N=NF，
设P₂（n，-n²+3n+4），
则n=（-n²+3n+4）+4，
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
则P₂的坐标是（-2，-6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF=

1

2

OC=2，
∴点P的纵坐标是2．
则-x²+3x+4=2，
解得：x=

3± 17

2

，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．