Question

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求a、b的值．
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），设点M的横坐标为m，MP⊥AB交直线AC于点E，交抛物线点P，PQ∥AB交抛物线于点Q，QN⊥x轴于点N，当点P在点Q的左边，矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．
（3）在（2）的条件下，FG∥y轴，交抛物线于点F，与直线AC交于点G（G在点F的上方），当FG=2$\sqrt{2}$DQ时，求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出a、b的值；
（2）由抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴为x=-1，设点P（m，-m²-2m+3），用含m的代数式表示出点M、N、Q点的坐标，根据矩形的周长公式结合二次函数的性质即可得出当m=-2时矩形PMNQ的周长最大，再由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，从而可得出点M、E的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）结合（2）可得出点D、Q的坐标，利用两点间的距离公式即可求出DQ的长度，设点F（n，-n²-2n+3），则G（n，n+3），根据FG=2$\sqrt{2}$DQ即可得出关于n的一元二次方程，解方程即可求出n值，将其代入点F的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax²+bx+3中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴a=-1，b=-2．
（2）∵a=-1，b=-2，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴该抛物线的对称轴为x=-1，顶点D（-1，4）．
设点P（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜-1），则M（m，0），Q（-2-m，-m²-2m+3），N（-2-m，0），
∴PM=-m²-2m+3，PQ=-2-m-m=-2-2m，
∴C_矩形PMNQ=2×（PM+PQ）=-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
∴当m=-2时，矩形PMNQ的周长最大，
∴E（-2，0）．
令y=-x²-2x+3中x=0，则y=3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+3，
将点A（-3，0）代入y=kx+3中，
得：0=-3k+3，解得：k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
∵点E在直线AC上，
∴点E（-2，1），
∴AM=-2-（-3）=1，EM=1，
∴S_△AEM=$\frac{1}{2}$AE•EM=$\frac{1}{2}$．
（3）∵D（-1，4），Q（0，3），
∴DQ=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
设点F（n，-n²-2n+3），则G（n，n+3），
∵G在点F的上方，FG=2$\sqrt{2}$DQ，
∴n+3-（-n²-2n+3）=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$，
解得：n₁=-4，n₂=1，
∴当FG=2$\sqrt{2}$DQ时，点F的坐标为（-4，-5）或（1，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出a、b的值；（2）利用二次函数的性质找出当m=-2时矩形PMNQ的周长最大；（3）找出关于n的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．