Question

8．如图，折叠△ABC中的∠C，点C的对应点为C′，折痕为DE
（1）如图1，当点C′落在AC边上时，∠1与∠C的关系为∠1=2∠C；
（2）如图2，当点C′落在△ABC内部时，请判断∠1，∠2与∠C的关系，并证明；
（3）如图3，当点C′落在△ABC外部时，∠1，∠2与∠C又有什么样的关系，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据外角定理和折叠性质可得结论；
（2）由三角形内角和得：∠EDC+∠DEC=180°-∠C，由折叠得：∠DEC′+∠EDC′=180°-∠C，根据平角定义，得∠1+∠DEC+∠DEC′=180°，∠2+∠EDC+∠EDC′=180°，代入可得：∠1+∠2=2∠C；
（3）根据三角形的内角和得：∠C′ED=180°-∠C′-∠2-∠EDM，由折叠得：∠C′ED=∠DEC，∠C=∠C′，则2∠C′ED=360°-2∠C′-2∠2-2∠EDM，由平角定义得：∠1+∠C′ED+∠DEC=180°，等量代换可得出结论．

解答 解：（1）∠1=2∠C，理由是：
如图1，由折叠得：∠C=∠EC′C，
∵∠1是△EC′C的一个外角，
∴∠1=∠C+∠EC′C，
∴∠1=2∠C；
（2）∠1+∠2=2∠C，理由是：
如图2，∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，
∴∠EDC+∠DEC=180°-∠C，
由折叠得：∠EDC=∠EDC′，∠DEC=∠DEC′，
∵∠1+∠DEC+∠DEC′=180°，
∠2+∠EDC+∠EDC′=180°，
∴∠1+∠2=360°-（∠DEC+∠DEC′+∠EDC+∠EDC′）=360°-2（180°-∠C）=2∠C；
（3）∠1-∠2=2∠C，理由是：
如图3，延长C′D，交BC于F，
在△EDC′中，∠C′ED+∠EDC′+∠C′=180°，
即∠C′ED=180°-∠C′-∠2-∠EDM，
由折叠得：∠C′ED=∠DEC，∠C=∠C′，
∴∠C′ED+∠DEC=2∠C′ED=360°-2∠C′-2∠2-2∠EDM，
∵∠1+∠C′ED+∠DEC=180°，
∴∠1+360°-2∠C′-2∠2-2∠EDM=180°，
∵∠EDM=∠EDF，
∴2∠EDM=180°-∠2，
∴∠1+360°-2∠C-2∠2-（180°-∠2）=180°，
∠1-∠2=2∠C．

点评 本题考查了翻折变换中的折叠问题，明确折叠前后的两个角相等，本题还考查了三角形的内角和定理、外角定理、平角定义等有关于角的性质，根据角的等式之间的化简得出相应的结论．