Question

已知：直线y=

1

2

x+2与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y=

1

2

x²+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AE上一动点，当△PBC周长最小时，求点P坐标；
（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，求点Q的坐标；
（4）在y轴上是否存在一点M，使得点M到C点的距离与到直线AD的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直线y=

1

2

x+2与y轴交于A，求得点A的坐标，再利用B点的坐标利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）求出点C关于直线AE的对称点F的坐标，然后求出直线BF的解析式后求与直线AE的交点坐标即可；
（3）设出P点的坐标，然后表示出AP、EP的长，求出AE的长，利用勾股定理得到有关P点的横坐标的方程，求得其横坐标即可；
（4）设出M点的坐标，利用C点的距离与到直线AD的距离恰好相等，得到有关M点的纵坐标的方程解得M点的纵坐标即可．

解答：解：（1）∵直线y=

1

2

x+2与y轴交于A，
∴A点的坐标为（0，2），
∵B点坐标为 （1，0）．
∴

c=2 1 2 +b+c=0

∴y=

1

2

x2-

5

2

x+2；

（2）作出C关于直线AE的对称点F，由B和F确定出直线BF，与直线AE交于P点，
利用△DFC面积得出F点纵坐标为：

16

5

，
∴利用勾股定理得出

2

5

，
∴F（

4

5

，

32

5

），
∴直线BF的解析式为：y=-32x+32，
，
可得：P（

12

13

，

32

13

）；

（3）根据题意得：

1

2

x+2=

1

2

x²-

5

2

x+2，
解得：x=0或x=6，
∴A（0，2），E（6，5），
∴AE=3

5

，
设Q（x，0），
①若Q为直角顶点，
则AQ²+EQ²=AE²，
即x²+4+（x-6）²+25=45，
此时x无解；
②若点A为直角顶点，
则AQ²+AE²=EQ²，
即x²+4+45=（x-6）²+25，
解得：x=1，
即Q（1，0）；
③若E为直角顶点，
则AQ²=AE²+EQ²，
即x²+4=45+（x-6）²+25，
解得：x=

51

6

=

17

2

，
此时求得Q（

17

2

，0）；
∴Q（1，0）或（

17

2

，0）

（4）假设存在，设M坐标为（0，m），则OM=|m|，
此时MD⊥AD，
∵OC=4，AO=2，OD=4，
∴在直角三角形AOD中，根据勾股定理得：AD=2

5

，且AM=2-m，CM=

m2+16

，
∵MD=MC，
∴根据勾股定理得：

AM2-AD2

=

OC2+OM2

，
即（2-m）²-（2

5

）²=m²+16，
解得m=-8，
则M（0，-8）．

点评：本题考查了函数综合知识，函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以函数综合题的形式出现．解决函数综合题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用过程．