Question

5．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D．我们可以得到一个一般性的结论∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．请应用这一结论，解决下面的问题．
（1）如图2，过点D任意作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，求∠MDB+∠NDC的度数（用含∠A的代数式表示）．
（2）如图3，当过点D直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，∠MDB、∠NDC、∠A三者之间存在怎样的数量关系？说明你的理由．
（3）如图4，当过点D直线MN与AB的交点在线段AB的延长线上，而与AC的交点在线段AC上时，（2）问中∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由∠MDB+∠NDC+∠BDC=180°结合∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，即可求出∠MDB+∠NDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（2）由∠MDB+∠BDC-∠NDC=180°结合∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，即可得出∠MDB-∠NDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）由∠BDC-∠BDM+∠NDC=180°结合∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，即可得出∠NDC-∠BDM=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

解答 解：（1）∵∠MDB+∠NDC+∠BDC=180°，
∴∠MDB+∠NDC=180°-∠BDC．
∵∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠MDB+∠NDC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（2）∠MDB-∠NDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵∠MDB+∠BDN=180°，∠BDN=∠BDC-∠NDC，
∴∠MDB+∠BDC-∠NDC=180°．
∵∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠MDB+90°+$\frac{1}{2}$∠A-∠NDC=180°，
∴∠MDB-∠NDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（3）∠NDC-∠BDM=90°-$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵∠MDC+∠NDC=180°，∠BDC=∠BDM+∠MDC，
∴∠BDC-∠BDM+∠NDC=180°．
∵∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴90°+$\frac{1}{2}$∠A-∠BDM+∠NDC=180°，
∴∠NDC-∠BDM=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形内角和定义以及角的计算，解题的关键是：（1）根据角与角之间的关系找出∠MDB+∠NDC+∠BDC=180°；（2）根据角与角之间的关系找出∠MDB+∠BDC-∠NDC=180°；（3）根据角与角之间的关系找出∠BDC-∠BDM+∠NDC=180°．