Question

13．重庆市政府出台10项措施帮助大学毕业生就业，鼓励自主创业，为此，我市设1亿元大中专毕业生创业基金，毕业后自主创业可获5～8万元的贷款．大学生李某毕业响应国家“自主创业”的号召，在批发市场投资开办了一个博彩文具批发超市．该文具批发超市在开学前8月31日购进一种新上市的多功能文具袋，9月份（9月1日至9月30日）进行30天的试销售，购进价格为20元/个．在开学的1～20天里，学生需求量大，货源紧缺，售价与天数成一次函数关系，日销售量y（个）与销售时间x（天）之间有如下关系：y=-2x+80（1≤x≤20，x取正整数）；由于价格偏高，销量减少，李某想到了降价销售，刺激消费，在以后的20～30天里，售价与天数可以近似看作反比例函数关系，此时销售量y（个）与销售时间x（天）之间有如下关系：y=$\frac{1}{10}$x²（20≤x≤30，x取正整数）；又知销售价格z（元/个）与销售时间x（天，x取正整数）之间的函数关系满足如图所示的函数图象．李某租用的超市其他固定支出平均每天30元，还聘请了一位收银员，和两位导购员，平均每人每天支付工资30元．
（1）请直接写出z关于x的函数关系式；
（2）请问在这30天（9月1日至9月30日）的试销中，哪一天的收益最大？最大收益是多少？
（3）国务院规定：9月30日至10月7日放假调休，过双节．“十?一”黄金周期间，李某采用降低售价从而提高日销售量的销售策略．从10月1日起，每天销售价格比9月30日的销售价格降低0.2a%而每天的日销售量反而比9月30日提高4a%，同时要求售价不低于25元/个．员工放假期间工资按国家的规定发放，是平时工资的3倍，超市其他固定支出不变，要使黄金周期间（9月30日至10月7日）的总利润达到11100元，求整数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据图象得出销售价格z与销售时间x（天）的关系为一次函数关系进而求出即可；
（2）根据当1≤x≤20时，以及当20＜x≤30时，表示出日销售利润，进而解答即可；
（3）首先利用（2）中所求解析式，利用二次函数的最值求法以及一次函数的增减性，利用已知列出等式方程：（30-20）×90+[30（1-0.2a%）-20]×90（1+4a%）×7-（30+90×3）×8=11100（10-6a%）（1+4a%）=20，进而求出a的值即可．

解答 解：（1）$z=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+35（1≤x≤20，x为整数）\\ \frac{900}{x}（20≤x≤30，x为整数）\end{array}\right.$；

（2）设每天的收益为w元．
①当 1≤x≤20，x为整数时，${w_1}=（{\frac{1}{2}x+35}）（{-2x+80}）-30-3×30$=-x²+10x+1080=-（x-5）²+1105，
所以，当x=5时，w_最大值=1105元．…．（4分）
②当 20≤x≤30，x为整数时，${w_2}=（{\frac{900}{x}-20}）×\frac{1}{10}{x^2}-30-3×30$=-2x²+90x-120，
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{90}{-4}=22.5$，且抛物线开口向下．
所以，x=22或者23时，w_最大值=892元
因为892＜1105
所以，当x=5时，w_最大值=1105元．
答：在第5天的收益最大，最大收益为1105元．

（3）根据题意得：（30-20）×90+[30（1-0.2a%）-20]×90（1+4a%）×7-（30+90×3）×8=11100（10-6a%）（1+4a%）=20，设a%=t（10-6t）（1+4t）=2012t²-17t+5=0
△=289-240=49$t=\frac{17±7}{24}$
所以，${t_1}=\frac{24}{24}=1，{t_2}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}≈0.417$
所以，a₁=100，a₂=41.7≈42
因为要求售价不低于25元/个，
而30（1-0.2a%）=30×0.8=24＜25
所以，a₁=100应舍去．
答：整数a的值为42．

点评 此题主要考查了二次函数与一次函数的应用和一元二次方程的应用，根据已知得出利润与销量之间的函数关系式是解题关键．