如图.已知直线l1:y=-x+8与直线l2:y=$\frac{5}{3}$x交于点M.直线l1与坐标轴分别交于A.C两点．(1)分别求点A和点M的坐标,(2)在直线y=$\frac{5}{3}$x上找一点D.使△ADM的面积等于△AOM的面积的2倍.求出点D的坐际,(3)若点P是线段OM上的一动点.过点P作PB∥x轴交CM于点B．①在x轴上是否存在一点H.便得△PBH为等腰直角三角形.若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．如图，已知直线l₁：y=-x+8与直线l₂：y=$\frac{5}{3}$x交于点M，直线l₁与坐标轴分别交于A，C两点．
（1）分别求点A和点M的坐标；
（2）在直线y=$\frac{5}{3}$x上找一点D，使△ADM的面积等于△AOM的面积的2倍，求出点D的坐际；
（3）若点P是线段OM上的一动点（不与端点重合），过点P作PB∥x轴交CM于点B．
①在x轴上是否存在一点H，便得△PBH为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②设点P的纵坐标为n，以点P为直角顶点作为等腰直角△PBF（点F在直线PB下方），设△PBF与△MOC重叠部分的面积为S，求S与n之间的函数关系式，并写出相应n的取值范围．

分析（1）利用y轴上点的坐标特征求出点A坐标，再联立两直线的解析式即可求出点M的坐标；
（2）分两种情况，利用同高的两三角形的面积的比等于底的比，再借助相似三角形的性质即可得出结论；
（3）①利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；
②分两种情况，利用三角形的面积公式和面积的差即可得出结论．

解答解：（1）∵直线l₁：y=-x+8与坐标轴分别交于A，C两点，
令x=0，
∴y=8，
∴A（0，8），
∵直线l₁：y=-x+8①与直线l₂：y=$\frac{5}{3}$x②交于点M，直线l₁与坐标轴分别交于A，C两点，
联立①②解得x=3，y=5，
∴M（3，5）；

（2）如图1，由（1）知，A（0，8），M（3，5），
设D（3m，5m），
①当点D在射线OM上时，
∵△ADM的面积等于△AOM的面积的2倍，
∴DM=2OM，
∴OD=3OM，
过点M作ME⊥x轴，过点D作DF⊥x轴，
∴OE=3，ME=5，ME∥DF，
∴△OME∽△ODF，
∴$\frac{ME}{DF}=\frac{OE}{OF}=\frac{OM}{OD}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{5}{DF}=\frac{3}{OF}=\frac{1}{3}$，
∴DF=15，OF=9，
∴D（9，15），
②当点D在射线MO上时，
∵△ADM的面积等于△AOM的面积的2倍，
∴D'M=2OM，
∴OD'=OM，
同①的方法得，OG=3，D'G=5，
∴D'（-3，-5），
即：满足条件的点D的坐标为（-3，-5）或（9，15）；

（3）①设点P（3a，5a）（0＜a＜1），
∵PB∥x轴，且点B在直线y=-x+8上，
∴B（8-5a，5a），
∴PB=8-5a-3a=8-8a，
Ⅰ、当点P是直角顶点时，如图2，
∵△PBH为等腰直角三角形，
∴PB=PH，点H（3a，0），PH=5a，
∴8-8a=5a，
∴a=$\frac{8}{13}$，
∴P（$\frac{24}{13}$，$\frac{40}{13}$），
Ⅱ、当点B是直角顶点时，如图2，同Ⅰ的方法得出点P（$\frac{24}{13}$，$\frac{40}{13}$），
Ⅲ、当点H是直角顶点时，如图3，
过H''作H''N⊥PB于N，
∴H''N=PN=$\frac{1}{2}$PB，
∴NH''=5a=$\frac{1}{2}$（8-8a），
∴a=$\frac{4}{9}$，
∴P（$\frac{4}{3}$，$\frac{20}{9}$），
∴满足条件的点P的坐标为P（$\frac{24}{13}$，$\frac{40}{13}$）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{20}{9}$）；

②∵点P的纵坐标为n，∴P（$\frac{3}{5}$n，n），
∵PB∥x轴，
∴B（8-n，n），
∴PB=8-n-$\frac{3}{5}$n=8-$\frac{8}{5}$n，
∵以点P为直角顶点作为等腰直角△PBF，
∴PF=PB=8-$\frac{8}{5}$n，
当8-$\frac{8}{5}$n=n时，n=$\frac{40}{13}$，
Ⅰ、当0＜n＜$\frac{40}{13}$时，如图4，
记PF交x轴于G，BF交x轴于H，
∴PG=n，∴FG=PF-PG=8-$\frac{8}{5}$n-n=8-$\frac{13}{5}$n，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴∠F=∠PBF=45°，
∵PB∥x轴，
∴∠GHF=45°=∠F，∴FG=HG，
∴S=S_△PBF-S_△GHF
=$\frac{1}{2}$PB²-$\frac{1}{2}$FG²=$\frac{1}{2}$（PB²-FG²）
=$\frac{1}{2}$[（8-$\frac{8}{5}$n）²-（8-$\frac{13}{5}$n）²]
=-$\frac{21}{5}$n²+16n，
Ⅱ、当$\frac{40}{13}$≤n＜5时，如图5，
S=S_△PBF=$\frac{1}{2}$PB₂=$\frac{1}{2}$（8-$\frac{8}{5}$n）²=$\frac{32}{25}$（n-5）²；