Question

如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少平方厘米？

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：延长CE交DA的延长线于M，根据相似三角形性质得出

CF

DM

=

FH

HD

=

1

4

，

BE

DC

=

BG

GD

=

1

2

，求出△BEC和△DFC的面积，根据三角形的面积公式求出△BGE和△CFH的面积，相减即可求出答案．

解答：解：延长CE交DA的延长线于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC，AD∥CB，∠MAB=∠ABC=90°，AB∥CD，
∵E为AB中点，F为BC中点，
∴AE=BE，BF=CF=

1

2

BC，
∵在△MAE和△CBE中

∠MAE=∠CBE AE=BE ∠AEM=∠CEB

，
∴△MAE≌△CBE，
∴MA=BC=AD，
∵AD∥BC，
∴△CFH∞△MDH，
∴

CF

DM

=

FH

HD

=

1

4

，
∵AB∥CD，
∴△BGE∞△DGC，
∴

BE

DC

=

BG

GD

=

1

2

，
∵S_△BCD=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

×120=60（平方厘米），S_△BCE=S_△DCF=

1

4

×120=30（平方厘米），
∵

EG

CG

=

1

2

，
∴

S△BGE

S△CGB

=

EG

CG

=

1

2

，
∴S_△BGE=

1

3

S_△BEC=10平方厘米，
∵

FH

DH

=

1

4

，
∴

S△CFH

S△CHD

=

FH

DH

=

1

4

，
∴S_△CFH=

1

5

S_△DCF=6平方厘米，
∴四边形BGHF的面积是S_△CBE-S_△BGE-S_△CFH=30-10-6=14（平方厘米），
答：四边形BGHF的面积是14平方厘米．

点评：本题考查了正方形性质、相似三角形的性质和判定、三角形的面积的应用，等高的两个三角形的面积之比等于对应的边之比，灵活运用等高的两个三角形的面积之比等于对应的边之比是解此题的关键．