Question

3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=2AB=6，以点A为圆心，AB为半径作弧，分别交BC，AC于点D、E，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$-$\frac{3π}{2}$
• B． $\frac{9\sqrt{2}}{4}$-$\frac{3π}{2}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$-$\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{9\sqrt{2}}{4}$-$\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 连接AD，根据直角三角形的性质得出∠B=60°、AC=3$\sqrt{3}$，由AB=AE=AD=3、△ABD是等边三角形知∠BAD=60°，即∠DAC=30°，根据S_阴影=S_△ABC-S_扇形DAE-S_△ABD可得答案．

解答 解：如图，连接AD，

∵在Rt△ABC中，BC=2AB=6，
∴AB=3，cosB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=60°，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵AB=AE=AD=3，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴∠DAC=30°，
则S_阴影=S_△ABC-S_扇形DAE-S_△ABD
=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$-$\frac{30•π•{3}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²
=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$-$\frac{3π}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查扇形的面积计算、三角函数、勾股定理和等边三角形的判定等知识点，根据题意证出△ABD是等边三角形从而得∠DAC=30°是解题的关键．