Question

5．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、DC上，且$\frac{ED}{AE}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BG}{GC}$=+$\frac{DH}{CH}$=$\frac{1}{2}$
（1）求证：EFGH为平行四边形
（2）当ABCD的对角线AC与BD有怎样的数量关系时，EFGH为菱形．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到$\frac{DE}{AD}=\frac{DH}{DC}$=$\frac{1}{3}$根据相似三角形的判定和性质得到$\frac{EH}{AC}$=$\frac{DH}{DC}$=$\frac{1}{3}$，于是得到EH∥AC，同理：EH∥FG，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）连接AC，BD，由（1）知，EH∥AC，$\frac{EH}{AC}$=$\frac{1}{3}$，求得EH=$\frac{1}{2}$AC得到EH=$\frac{2}{3}$BD，同理得到EF=$\frac{2}{3}$BD于是得到结论．

解答 （1）证明：∵$\frac{ED}{AE}$=$\frac{DH}{CH}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{DH}{DC}$=$\frac{1}{3}$，
∵∠D=∠D，
∴△ADC∽△EDH，
∴$\frac{EH}{AC}$=$\frac{DH}{DC}$=$\frac{1}{3}$，
∴EH∥AC，
同理：FG∥AC，$\frac{FG}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴EH∥FG，$\frac{EH}{AC}$=$\frac{FG}{AC}$，
∴EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）解：当AC=2BD时，四边形EFGH为菱形，
理由：连接AC，BD，
由（1）知，EH∥AC，$\frac{EH}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴EH=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=2BD，
∴EH=$\frac{2}{3}$BD，
同理，$\frac{EF}{BD}=\frac{2}{3}$，
∴EF=$\frac{2}{3}$BD，
∴EH=EF，
∴四边形EFGH为菱形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．