Question

8．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=$\frac{ax+by}{3x+y}$（其中a，b均为非零常数）这里等式右边是通常的四则运算．例如T（0，1）=$\frac{a×0+b×1}{3×0+1}$=b．
（1）已知T（1，-1）=1，T（3，1）=-1；
①求a，b的值；
②求解关于x的方程T（x，x²）=T（x²，x）的解；
③若关于m的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{T（2m，5-6m）＜4}\\{T（m，3-3m）≥p}\end{array}\right.$只有两个整数解，求实数P的取值范围．
（2）若T（x，y）-T（y，x）=0，对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？

Answer 1

分析 （1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；
②利用已知得出关于m的等式求出答案；
③根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出p的范围即可；
（2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．

解答 解：（1）①∵T（1，-1）=1，T（3，1）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b=2}\\{3a+b=-10}\end{array}\right.$，
∴a=-2，b=-4．
②∵T（x，y）=$\frac{ax+by}{3x+y}$，T（x，x²）=T（x²，x），
∴$\frac{-2x-4{x}^{2}}{3x+{x}^{2}}$=$\frac{-2{x}^{2}-4x}{3{x}^{2}+x}$，
∵x≠0，
∴$\frac{1+2x}{3+x}$=$\frac{x+2}{3x+1}$，
∴x²=1，x=±1，
经检验x=±1是原方程的解．
③∵$\left\{\begin{array}{l}{T（2m，5-6m）＜4}\\{T（m，3-3m）≥p}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20m-20}{5}＜4}\\{\frac{10m-12}{3}≥p}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{m≥\frac{12+3p}{10}}\end{array}\right.$，
∵只有两个整数解，
∴-1＜$\frac{12+3p}{10}$≤0，
∴-$\frac{22}{3}$＜p≤-4．
（2）∵（2）由T（x，y）-T（y，x）=0，
∴$\frac{ax+by}{3x+y}$-$\frac{ay+bx}{3y+x}$=0，
整理得：（x²-y²）（a-3b）=0，
∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，
∴a-3b，即a=3b．

点评 此题考查了不等式组的实际运用，分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．