Question

如图，直线y=-x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点P为双曲线y=

6

x

（x＞0）上一点，PC⊥x轴于C，交AB于点N，PD⊥y轴于D交AB于点M．
（1）求证：OA=OB；
（2）当P点运动时，AM•BN的值是否发生变化？若不变，求其值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由直线y=-x+4，分别令x与y为0求出A与B坐标，确定出OA与OB的长，即可得证；
（2）当P点运动时，AM•BM的值不发生变化，其值为12，理由为：设P（m，n）（m＞0，n＞0），根据题意表示出M与N坐标，利用两点间的距离公式表示出AM与BN，即可求出不变的值．

解答：（1）证明：对于直线y=-x+4，
令x=0，得到y=4，即B（0，4）；
令y=0，得到x=4，即A（4，0），BN，
则OA=OB=4；
（2）解：当P点运动时，AM•BM的值不发生变化，其值为12，理由为：
设P（m，n）（m＞0，n＞0），
∵直线y=-x+4的斜率为-1，即倾斜角为135°，
∴∠CAN=45°，即△ACN为等腰直角三角形，
∴CN=CA=OA-OC=4-m，
同理△BDM为等腰直角三角形，即DM=BD=OB-OD=4-n，
∴N（m，4-m），M（4-n，n），
∴BN=

m2+(4-m-4)2

=

2

m，AM=

(4-n-4)2+n2

=

2

n，
∴AM•BN=2mn，
∵P在y=

6

x

上，
∴mn=6，
则AM•BN=2mn=12．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，两点间的距离公式，等腰直角三角形的判定与性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解本题第二问的关键．