Question

关于x、y的方程

1

x

+

1

y

+

1

xy

=

1

2011

的正整数解（x，y）共有

 

组．

Answer 1

分析：首先将方程

1

x

+

1

y

+

1

xy

=

1

2011

的变形为（x-2011）（y-2011）=2011×2012，又由2011是质数，2012=2×2×503与x，y是正整数，即可得x-2011=2011，y-2011=2012或x-2011=2012，y-2011=2011或x-2011=4022，y-2011=1006或x-2011=1006，y-2011=4022或x-2011=8044，y-2011=503或x-2011=503，y-2011=8044或x-2011=1，y-2011=4046132或x-2011=4046132，y-2011=1，x-2011=2，y-2011=2011×1006，或x-2011=4，y-2011=503×2011或y-2011=2，x-2011=2011×1006，或y-2011=4，x-2011=503×2011继而求得答案．

解答：解：∵

1

x

+

1

y

+

1

xy

=

1

2011

，
∴2011x+2011y+2011=xy，
∴xy-2011x-2011y=2011，
∴xy-2011x-2011y+2011²=2011+2011²，
∴（x-2011）（y-2011）=2011×2012，
∵2011是质数，2012=2×2×503，
又∵x，y是正整数，
∴x-2011=2011，y-2011=2012或x-2011=2012，y-2011=2011或x-2011=4022，y-2011=1006或x-2011=1006，y-2011=4022或x-2011=8044，y-2011=503或x-2011=503，y-2011=8044或x-2011=1，y-2011=4046132或x-2011=4046132，y-2011=1，或x-2011=2，y-2011=2011×1006，或x-2011=4，y-2011=503×2011或y-2011=2，x-2011=2011×1006，或y-2011=4，x-2011=503×2011
∴x=4022，y=4023或x=4023，y=4022或x=6033，y=3017或x=3017，y=6033或x=10055，y=2514或x=2514，y=10055或x=2012，y=4048143或x=4048143，y=2012，或x=2013，y=2025077，或x=2025077，y=2013，或x=2015，y=1013544或y=2015，x=1013544
∴关于x、y的方程

1

x

+

1

y

+

1

xy

=

1

2011

的正整数解（x，y）共有12组．
故答案为：12．

点评：此题考查了非一次不定方程的知识．解此题关键是将方程

1

x

+

1

y

+

1

xy

=

1

2011

的变形为（x-2011）（y-2011）=2011×2012，然后由2011是质数，2012=2×2×503与x，y是正整数分析求解．