Question

已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E、F分别是边AC和BC的中点，求证：四边形CEDF是菱形．

Answer 1

分析：由垂径定理知，点D是AB的中点，有AD=BD，可证△CAD≌△CBD，可得AC=BC；由E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，得DF=CE=

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AC，DE=CF=

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BC，即DE=DF=CE=CF，从而可得四边形CEDF为菱形．

解答：证明：∵AB为弦，CD为直径所在的直线且AB⊥CD，
∴AD=BD，
又∵CD=CD，
∴△CAD≌△CBD，
∴AC=BC；
又∵E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，
∴DF=CE=

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AC，DE=CF=

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BC，
∴DE=DF=CE=CF，
∴四边形CEDF为菱形．

点评：本题考查了垂径定理、三角形全等、三角形中位线的性质以及菱形的判定．