Question

如图1，菱形纸片ABCD中，AB=4cm，∠ABC=120°，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC．

（Ⅰ）△EBC的面积为

 

cm²；
（Ⅱ）将三角形纸片EBC剪成三部分，使它们能拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片，请你在图2中画出拼接成的四边形，并简要说明画图的方法（不要求证明）；
（Ⅲ）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为

 

cm，最大值为

 

cm．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）作BM⊥AD于点M，利用菱形的性质求出高，即可求出△EBC的面积．
（2）利用中位线，把三角形分成三部分拼成一个平行四边形，
（3）由拼成的平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的边AB=4，左右两边的长等于线段MN的长，①当MN垂直于BC时，其长度最短，②，原图中当点E与点A重合时得到的△EBC，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，此时，这个四边形的周长最大，求出周长的值即可．

解答：解：（1）如图1，作BM⊥AD于点M，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=4cm
∴∠A=60°，
在RT△AMB中，BM=2

3

，
∴△EBC的面积=

1

2

BC•BM=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
故答案为：4

3

．
（2）如图2，作△BEC的一条中位线GH，在GH和BC上任找一点M，N连接MN，

梯形GBNM绕G点逆时针转动180°，得到梯形GB′N′M′，梯形HCNM绕H点逆时针转动180°，得到梯形HM″N″C′，
可得四边形M′M″N″N′是平行四边形．
（3）通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的边AB=4，左右两边的长等于线段MN的长，
①当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，即MN=

3

，
所以这个平行四边形的周长的最小值为2（

3

+4）=2

3

+8；
②如图3，原图中当点E与点A重合时得到的△EBC，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，此时，这个四边形的周长最大，

如图4，作MQ⊥BC交BC的延长线于点Q，

∵BE=4，BC=4，∠EBC=120°，
∴BM=

1

2

BE=2，∠MBQ=60°，
在RT△MQB中，QB=1，MQ=

3

，
∴QN=4+1=5，
∴在RT△MQN中，
MN=

MQ2+QN2

=

52+3

=2

7

，
∴四边形纸片周长的最大值为，8+2MN=8+4

7

．
故答案为：2

3

+8，8+4

7

．

点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是利用中位线把三角形分成的三部分拼成平行四边形，求拼成的四边形的最大周长是个难点．