题目内容
已知：如图，抛物线
（
）与
轴交于点
( 0 ，4) ，与
轴交于点
，
，点的坐标为（ 4 ，0）.
(1) 求该抛物线的解析式;
(2) 点
是线段
上的动点，过点作
∥
，交
于点
，连接
. 当
的面积最大时，求点的坐标；
（3）若平行于轴的动直线
与该抛物线交于点
，与直线交于点
，点
的坐标为（2 ，0）. 问: 是否存在这样的直线 ，使得
是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）
∵抛物线（）与轴交于点( 0 ，4)，与轴交于点（ 4 ，0）
∴
解得 
∴该抛物线的解析式为
（2）
令
，则
，解得，
， 
∴ 
∴ 
，
，
设
，的面积用表示，
方法一
∵ ∥
∴ 
， 即 
∴
过点作
，垂足为
在Rt
中，
在Rt
中 
∴ 
∴ 当
时，的面积最大是3，即点的坐标为（1 ，0）
解法二
， 
过点作
，垂足为
，则
∥
∴
∵∥
∴
∴
即
∴ 
∴ 
∴ 
∴ 当时，的面积最大是3，即点的坐标为（1 ，0）
（3）
① 当
为底边时，点的横坐标是1，又点在直线上，直线的解析式为
，所以，点的坐标是（1，3），所以点的纵坐标为3，，代入，得点的坐标为（
，3）或（
，3）
②当为腰，
为顶角时，此时点是以点为圆心，
为半径的圆与直线的交点，有两个点，点
（4，0）与点重合，舍去，点（2，2），所以点的纵坐标为2，，代入，得点的坐标为（
，2）或（
，2）
③当为腰，
为顶角时，此时点应是以点
为圆心，为半径的圆与直线的交点，但是点到的距离为
，所以不存在满足条件的点.
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