Question

5．如图，已知AB∥CD，点M，N分别是AB，CD上两点，点G在AB，CD之间．
（1）求证：∠AMG+∠CNG=∠MGN；
（2）如图②，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E+∠G=90°，求∠AME的度数；
（3）如图③，若点P是（2）中的EM上一动点，PQ平分∠MPQ．NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ∥NH，直接写出∠JPQ的度数．

Answer 1

分析 （1）过点G作GE∥AB，根据AB∥CD得出AB∥CD∥GE，再由平行线的性质即可得出结论；
（2）设FG与NE交点为H点，AB与NE的交点I，点在△HNG中由三角形内角和定理可知∠G+∠HNG+∠NHG=180°，再由MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠E+∠G=90°可得出90°+$\frac{3}{2}$∠AME=180°，由此可得出结论；
（3）根据PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC可得出∠JPQ=∠JPN-$\frac{1}{2}$∠MPN，由此得出结论．

解答 （1）证明：如图①，过点G作GE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠AMG=∠MGE，∠CNG=∠NGE，
∴∠AMG+∠CNG=∠MGN；

（2）如图②，设FG与NE交点为H点，AB与NE的交点I，
在△HNG中，
∵∠G+∠HNG+∠NHG=180°
∴∠HNG=∠AIE=∠IHM+∠IMH=（∠E+∠EMF）+∠IMH=∠E+（∠EMF+∠IMH ）=∠E+∠AME
∠NHG=∠IHM=∠E+∠EMF=∠E+$\frac{1}{2}$∠AME
∴∠G+∠HNG+∠NHG=∠G+（∠E+∠AME）+（∠E+$\frac{1}{2}$∠AME）=180° （∠G+2∠E）+$\frac{3}{2}$∠AME=180°，即90°+$\frac{3}{2}$∠AME=180°，
∴∠AME=60°；

（3）∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，
∴∠JPQ=∠JPN-$\frac{1}{2}$∠MPN
=$\frac{1}{2}$（∠ENC-$\frac{1}{2}$∠MPN）
=$\frac{1}{2}$（∠AOE-$\frac{1}{2}$∠MPN）
=$\frac{1}{2}$∠AME
=30°．

点评 本题考查的是平行线的性质，涉及到三角形外角的性质、角平分线的性质及三角形内角和定理，难度较大．