Question

13．在半径为3的圆O中，弦AB=2，CD=4，且AB∥CD．设平行线AB与CD间的距离为d，则d=2$\sqrt{2}$±$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，由题意可得：OA=OC=3，AF=FB=1，CE=ED=2，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解Rt△OEC、Rt△OFA，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．

解答 解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r=3，弦AB∥CD，且AB=2，CD=4，
∴OA=OC=3，CE=DE=2，AF=FB=1，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE²=OC²-CE²
∴OE=$\sqrt{{OC}^{2}-{CE}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF²=OA²-AF²
∴OF=$\sqrt{{OA}^{2}-{AF}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴EF=OE+OF=$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，即b=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE=$\sqrt{5}$，OF=2$\sqrt{2}$；
则AB与CD的距离为：OF-OE=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，即d=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$；
故答案为：2$\sqrt{2}$±$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．