Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE=45°
（1）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE²=AD²+BE²（附：将△CEB绕点C旋转使得CB和CA重合）
（2）当点D在BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,勾股定理的逆定理

专题：

分析：（1）将△CEB绕点C顺时针旋转90°使得CB和CA重合，根据旋转的性质可得CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，然后求出∠DCF=45°，从而得到∠DCE=∠DCF，再利用“边角边”证明△CDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=DE，再求出△ADF是直角三角形，然后勾股定理证明即可；
（2）结论成立，证明思路同（1）．

解答：（1）证明：如图，将△CEB绕点C顺时针旋转90°使得CB和CA重合，
由旋转得，CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，

CE=CF ∠DCE=∠DCF CD=CD

，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴DF=DE，
∵∠DAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
故，DE²=AD²+BE²；

（2）结论DE²=AD²+BE²成立．
证明如下：如图，将△CEB绕点C顺时针旋转90°使得CB和CA重合，
由旋转得，CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ECF-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，

CE=CF ∠DCE=∠DCF CD=CD

，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴DF=DE，
∵∠EAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴∠DAF=180°-∠EAF=180°-90°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
故DE²=AD²+BE²．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据题目提供的信息，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．