Question

如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A₁OB₁．
（1）画出△A₁OB₁；
（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为

 

；
（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．

Answer 1

考点：作图-旋转变换,勾股定理,弧长的计算,扇形面积的计算

专题：作图题

分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A₁、B₁的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；
（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S_扇形A1OA+S_△A1B1O-S_扇形B1OB-S_△AOB=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S_扇形B1OB，然后计算即可得解．

解答：解：（1）△A₁OB₁如图所示；

（2）由勾股定理得，BO=

12+32

=

10

，
所以，点B所经过的路径长=

90•π• 10

180

=

10

2

π；
故答案为：

10

2

π．

（3）由勾股定理得，OA=

52+42

=

41

，
∵AB所扫过的面积=S_扇形A1OA+S_△A1B1O-S_扇形B1OB-S_△AOB=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB，
BO扫过的面积=S_扇形B1OB，
∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB+S_扇形B1OB，
=S_扇形A1OA，
=

90•π•( 41 )2

360

，
=

41

4

π．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，弧长公式，扇形的面积，勾股定理，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于（3）表示出两线段扫过的面积之和等于扇形的面积．