Question

如图是两块等腰直角三角板放置在一起，AC=BC，∠ACB=90°，CE=DE，∠E=90°，CE交AB于F，CD交AB于G．求证：AF²+BG²=FG²．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：将△ACF绕点C逆时针旋转90°得到△BCH，连接GH，根据旋转的性质可得CF=CH，NH=AF，∠BCH=∠ACF，然后求出∠GCH=∠GCF=45°，再利用“边角边”证明△CGF和△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得HG=FG，再求出∠GBH=90°，然后利用勾股定理列式证明即可．

解答：证明：如图，将△ACF绕点C逆时针旋转90°得到△BCH，连接GH，
由旋转的性质得，CF=CH，NH=AF，∠BCH=∠ACF，∠A=∠CBH，
∵CE=DE，∠E=90°，
∴∠GCF=45°，
∴∠GCH=∠GCF=45°，
在△CGF和△CGH中，

CF=CH ∠GCH=∠GCF=45° CG=CG

，
∴△CGF≌△CGH（SAS），
∴HG=FG，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴∠GBH=∠ABC+∠CBH=45°+45°=90°，
在Rt△BGH中，由勾股定理得，BH²+BG²=HG²，
所以AF²+BG²=FG²．

点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．