Question

20．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质，和等角的余角相等证明即可；
（2）根据勾股定理和相似三角形进行解答即可．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠E=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠E；
（2）解：连接BC，如图：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=8，AB=2×5=10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}=6$，
∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E，
∴△ABC∽△EAB，
∴$\frac{AC}{EB}=\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{8}{EB}=\frac{6}{10}$，
∴BE=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形等知识点，关键是根据切线的性质和相似三角形的性质分析．